Задание 20 ЕГЭ: Набор чисел на доске/карточках

На доске записано некоторое натуральное число . Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий:

-- умножить число на 4;

-- прибавить к числу 12;

-- если число не равно 9, то вычеркнуть из числа цифру 9.

Затем ученик записывает новое число на доску.

а) Можно ли за несколько действий получить из числа 47 число 2?

б) Можно ли за несколько действий получить из числа 7 число 77?

в) Какое наибольшее количество чисел, меньших 2015, может быть записано на доске, если ?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на~5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?

б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше . Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?

б) Может ли на столе лежать ровно 200 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

На доске написано трёхзначное число . Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число , затем Коля записывает число и зачёркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число .

а) Может ли быть верным уравнение , если ?

б) Может ли быть верным уравнение , если ?

в) Найдите наибольшее число до , для которого выполняется .

На доске написаны 30 натуральных не обязательно различных чисел. Все они больше 16, но не превосходят 56, а их среднее арифметическое равно 23.

Все числа заменили на в два раза меньшие и после этого стерли те, что оказались меньше~9. При этом на доске обязательно осталось хотя бы одно число.

а) Может ли среднее арифметическое всех оставшихся чисел быть больше 21?

б) Может ли среднее арифметическое всех чисел быть больше 20, но меньше 21?

в) Какое наибольшее среднее арифметическое могло получиться у оставшихся чисел?

На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, больших 5, каждое из которых не превосходит 45. После чего все числа на доске уменьшили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 5, с доски стёрли.

a) Могло ли среднее арифметическое всех оставшихся на доске чисел увеличиться?

б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 32, а потом стало равно 39?

в) Чему может быть равно наибольшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 32?

На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, каждое из которых не превосходит 50. Одно или несколько из чисел на доске увеличили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 51, с доски стёрли.

a) Могло ли среднее арифметическое всех чисел на доске уменьшиться?

б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 24, а потом стало равно 17?

в) Чему может быть равно наименьшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 24?

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.