Задание 20 ЕГЭ: Свойства чисел

Дано трёхзначное натуральное число (запись которого не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 70?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Для чисел и , состоящих из одинакового количества цифр, вычислили --- сумму произведений соответствующих цифр. Например, для числа и получается сумма .

а) Существуют ли трёхзначные числа и , для которых ?

б) Существуют ли пятизначные числа и , для которых ?

в) Верно ли, что любое натуральное число от до является суммой для некоторых четырёхзначных чисел и ?

В игре число и число , за ход можно сделать или . Новые числа и всегда положительные.

а) Можно ли получить число за ходов?

б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму, равную ?

в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает .

Дана правильная несократимая дробь , где и --- натуральные числа. За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель --- на два числителя, то есть получить несократимую дробь .

а) Можно ли из дроби получить дробь ?

б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь за хода?

в) Дробь больше .

Найдите минимальную дробь , которую нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за хода.

Каждое из последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть --- сумма получившихся чисел.

а) Может ли ?

б) Может ли ?

в) Какое наибольшее целое значение может принимать , если известно, что исходных числа не меньше и не больше ?

Из цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, которые использовали по одному разу, составляют два числа: трёхзначное и четырёхзначное.

Известно, что они оба кратны 45.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2205?

б) Может ли сумма этих чисел равна 3435?

в) Чему равна наибольшая возможная сумма этих чисел?

Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

a) Можно ли получить из число 128 число 29?

б) Можно ли получить из число 128 число 31?

в) Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?

а) Существуют ли двузначные натуральные числа и такие, что

б) Существуют ли двузначные натуральные числа и такие, что

в) Найдите все возможные значения натурального числа , при каждом из которых значение выражения будет наименьшим.

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно , среднее арифметическое чисел во второй группе равно . При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.

a) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше .

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно .

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения .