Задача 1
Задание 18.1.1
В равнобедренном тупоугольном треугольнике на продолжение боковой стороны опущена высота . Из точки на сторону и основание опущены перпендикуляры и соответственно.
а) Докажите, что отрезки и равны.
б) Найдите , если .
Ответ:
Задание 18 ЕГЭ: Треугольники
Задачи из реальных вариантов прошлых лет по заданию №18 профильного ЕГЭ — тема «Треугольники». На странице 16 заданий с проверкой ответа и разбором.
- Задача 1 — Задание 18.1.1 1
- Задача 2 — Задание 18.1.2 2
- Задача 3 — Задание 18.1.3 3
- Задача 4 — Задание 18.1.4 4
- Задача 5 — Задание 18.1.5 5
- Задача 6 — Задание 18.1.6 6
- Задача 7 — Задание 18.1.7 7
- Задача 8 — Задание 18.1.8 8
- Задача 9 — Задание 18.1.9 9
- Задача 10 — Задание 18.1.10 10
- Задача 11 — Задание 18.1.11 11
- Задача 12 — Задание 18.1.12 12
- Задача 13 — Задание 18.1.13 13
- Задача 14 — Задание 18.1.14 14
- Задача 15 — Задание 18.1.15 15
- Задача 16 — Задание 18.1.16 16
Задача 2
Задание 18.1.2
В треугольнике угол равен . Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны в точке .
а) Докажите, что отрезок не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите , если известно, что отрезок в раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Ответ:
Решение
Задача 3
Задание 18.1.3
В равнобедренном остроугольном треугольнике проведены высоты и к боковым сторонам и . Отрезки и -- перпендикуляры к прямым и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите длину отрезка , если и .
Ответ:
Решение
Задача 4
Задание 18.1.4
Дан прямоугольный треугольник и окружность в нём, касающаяся катетов , и гипотенузы в точках , и соответственно. --- перпендикуляр к .
а) Доказать, что .
б) Известно, что , . Найти отношение .
Ответ:
Решение
Задача 5
Задание 18.1.5
Окружность с центром касается боковых сторон и равнобедренного треугольника , а также его высоты .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника , если , .
Ответ:
Решение
Задача 6
Задание 18.1.6
Дан прямоугольный треугольник и окружность в нём, касающаяся катетов , и гипотенузы в точках , и соответственно. --- перпендикуляр к .
а) Доказать, что .
б) Известно, что , . Найти отношение .
Ответ:
Решение
Задача 7
Задание 18.1.7
В равнобедренном остроугольном треугольнике проведены высоты и к боковым сторонам и . Отрезки и --- перпендикуляры к прямым и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите длину отрезка , если и .
Ответ:
Решение
Задача 8
Задание 18.1.8
В остроугольном треугольнике отрезки , и являются высотами.
Известно, что , ,
а .
а) Докажите, что .
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
Ответ:
Решение
Задача 9
Задание 18.1.9
В остроугольном треугольнике отрезки , и являются высотами.
Известно, что , ,
а .
а) Докажите, что .
б) Найдите длину высоты .
Ответ:
Решение
Задача 10
Задание 18.1.10
равносторонний треугольник. На стороне выбрана точка , серединный перпендикуляр к отрезку пересекает сторону в точке , а сторону в точке .
а) Докажите, что угол равен углу .
б) Найти отношение площадей треугольников и , если .
Ответ:
Решение
Задача 11
Задание 18.1.11
На сторонах и треугольника отмечены точки и так, что . Вписанная окружность треугольника касается отрезка в точке .
а) Докажите, что .
б) Известно, что , .
Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ:
Решение
Задача 12
Задание 18.1.12
В треугольник вписана окружность, которая касается стороны в точке . Точка --- середина стороны .
а) Докажите, что .
б) Найдите углы треугольника , если известно, что отрезок равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник , и отрезки и равны.
Ответ:
Решение
Задача 13
Задание 18.1.13
Дан остроугольный треугольник . В нём высоты и пересекаются в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите , если и .
Ответ:
Решение
Задача 14
Задание 18.1.14
Дан остроугольный треугольник . В нём высоты и пересекаются в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите расстояние от центра описанной окружности до , если , а .
Ответ:
Решение
Задача 15
Задание 18.1.15
В треугольнике проведена биссектриса . Прямая, проходящая через вершину перпендикулярно , пересекает сторону в точке .
Известно, что , , .
a) Докажите, что биссектриса угла делит отрезок пополам.
б) Пусть -- точка пересечения биссектрис треугольника .
Найдите отношение .
Ответ:
Решение
Задача 16
Задание 18.1.16
В остроугольном треугольнике проведены высоты и . На них из точек и опущены перпендикуляры и соответственно.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите отношение к , если .
Ответ: