Задание 15 ЕГЭ: Призмы

В правильной треугольной призме все рёбра равны 6. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , .

а) Докажите, что плоскость разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра .

Дана прямая призма . --- равнобедренный треугольник с основанием . На отмечена точка такая, что . Точка делит пополам ребро . Точка делит пополам ребро . Через точку проведена плоскость , перпендикулярная .

а) Докажите, что прямая параллельна плоскости .

б) Найдите отношение, в котором плоскость делит , если , , .

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями и . – точка, которая делит сторону в отношении , – середина .

а) Докажите, что .

б) Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью основания, если , а .

Основанием прямой призмы является параллелограмм. На рёбрах , , отмечены точки , и соответственно, причём , а --- равнобедренная трапеция с основаниями и .

а) Докажите, что --- середина .

б) Найдите площадь трапеции , если объём призмы равен , а её высота равна .

В правильной четырехугольной призме плоскость выходит из вершины и , пересекает стороны и в точках и соответственно и является ромбом.

а) Докажите, что -- середина ребра .

б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна 3, а площадь сечения равна 6.

Дана правильная четырёхугольная призма . Точка лежит на стороне , -- середина . Точка делит таким образом, что . -- равнобедренная трапеция.

a) Докажите, что .

б) Найдите объём призмы, если известно, что .

Дан куб . Точки и -- середины его ребер и соответственно. Плоскость проходит через точку параллельно прямым и .

a) Докажите, что плоскость проходит через точку .

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью , если его ребра равны 2.

Дана правильная треугольная призма . Точка -- середина ребра . Через точки , и проведена плоскость .

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью является равнобедренный треугольник.

б) Найдите высоту призмы, если известно, что площадь сечения равна 6 и .