Задание 15 ЕГЭ: Пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде точка — середина ребра . Через точку проведена плоскость , параллельная плоскости и пересекающая ребро в точке .

а) Докажите, что точка -- середина ребра .

б) Найдите объём пирамиды , если , а угол между прямой и плоскостью основания пирамиды равен .

В правильном тетраэдре все ребра равны 10. На ребрах и отмечены точки и соответственно

так, что .

а) Докажите, что плоскость делит тетраэдр на два многогранника, объёмы которых относятся как .

б) Найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

Дана правильная четырёхугольная пирамида , -- середина , -- середина~.

а) Докажите, что прямая параллельна плоскости .

б) Найдите высоту пирамиды, если , а угол между прямой и плоскостью основания равен .

В правильной шестиугольной пирамиде точки и -- середины боковых рёбер и соответственно.

а) Докажите, что прямые и параллельны.

б) Найдите объём пирамиды , если , а угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды равен .

В правильной шестиугольной пирамиде точки и -- середины боковых рёбер и соответственно.

а) Докажите, что прямые и лежат в одной плоскости.

б) Найдите высоту пирамиды, если , а угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды равен .

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна~30, а боковое ребро равно 28. Точки и — середины ребер и соответственно. Плоскость содержит прямую и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении , считая от точки .

б) Найдите расстояние от вершины до плоскости .

Точка не лежит в плоскости равностороннего треугольника . При этом .

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми и , если известно, что .

Дан тетраэдр . Точки , , и лежат на ребрах , , и соответственно, так, что четырехугольник квадрат со стороной 2.

.

a) Докажите, что .

б) Найдите расстояние от точки до плоскости , если объем тетраэдра равен 25.

Дана четырёхугольная пирамида с прямоугольником в основании, , , , , .

а) Докажите, что -- высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от точки до плоскости .

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами , . Боковые рёбра .

а) Докажите, что -- высота пирамиды.

б) Найдите угол между и .