Задание 13 ЕГЭ: Оптимизация

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят тыс. рублей в конце года ( ) . В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце пятого года (продать их в конце любого другого года будет менее выгодно).

При каких положительных значениях это возможно?

Вадим владеет двумя заводами в разных городах. За часов изготавливается товаров. Рабочие первого завода получают рублей в час, рабочие второго -- рублей в час. Недельный бюджет Вадима на оплату труда рабочих -- 1200000 рублей.

Какое максимальное количество товаров смогут произвести оба завода за одну неделю?

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство тыс. единиц продукции на таком заводе равны млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит . Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей.

При каком наименьшем значении строительство завода окупится не больше чем за 3 года?

Строительство нового завода стоит млн рублей. Затраты на производство тыс. ед. продукции на таком заводе равны млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год , а далее каждый год возрастает на . За сколько лет окупится строительство?

Зависимость количества (в шт., ) купленного у фирмы товара от цены (в руб. за шт.) выражается формулой . Затраты на производство единиц товара составляют рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог рублей ( ) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна.

При каком значении общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Зависимость объёма (в шт.) купленного у фирмы товара от цены (в руб. за шт.) выражается формулой , . Доход от продажи товара составляет рублей. Затраты на производство единиц товара составляют рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на , однако её прибыль не изменилась.

На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?