Задание 15 ЕГЭ: Призмы

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием . Точка 𝑃 делит ребро в отношении , а точка – середина ребра . Через середину ребра провели плоскость , перпендикулярную отрезку . a) Докажите, что плоскость делит ребро пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит ребро , считая от точки , если известно, что .

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями и . Точка делит ребро в отношении , а точка – середина ребра . a) Докажите, что плоскость делит отрезок пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью , если ,.

В основании прямой призмы лежит параллелограмм . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Четырёхугольник 𝐴𝑀𝐾𝑁 – равнобедренная трапеция с основаниями и . a) Докажите, что точка – середина ребра . б) Найдите площадь трапеции , если объём призмы равен , а высота призмы равна .

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием . Точка делит ребро в отношении , а точка – середина ребра . Через середину ребра провели плоскость , перпендикулярную отрезку . a) Докажите, что плоскость 𝛼 параллельна ребру . б) Найдите отношение, в котором плоскость делит отрезок , считая от точки , если известно, что .

В правильной треугольной призме сторона основания равна , а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . a) Точки и – центры окружностей, описанных около треугольников и соответственно.

Докажите, что прямая содержит точку пересечения медиан треугольник . б) Найдите расстояние от точки до плоскости .

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями и . Точка делит ребро в отношении , а точка – середина ребра . a) Докажите, что плоскость параллельна прямой . б) Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью основания призмы, если ,.

Дана правильная четырёхугольная призма . Плоскость проходит через вершины и и пересекает рёбра и в точках и соответственно.

Известно, что четырёхугольник – ромб.

a) Докажите, что точка – середина рёбра . б) Найдите высоту призмы , если площадь её основания равна , а площадь ромба равна .

В основании прямой призмы лежит параллелограмм с углом при вершине . На рёбрах и отмечены точки , и соответственно так, что четырёхугольник – равнобедренная трапеция с основаниями и . a) Докажите, что точка – середина ребра . б) Найдите высоту призмы, если её объём равен и известно, что точка делит ребро в отношении .

B правильной треугольной призме известно, что . Плоскость проходит через вершины и и середину ребра . a) Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью равна 6.

B основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный () треугольник . Точка – середина ребра , а точка делит ребро в отношении .

а) Докажите, что . б) Найдите угол между прямой и плоскостью если , и .