Задание 15 ЕГЭ: Пирамиды

В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре отмечена точка так, что . Через точку параллельно прямым и проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре отмечена точка так, что . Через точку параллельно прямым и проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

В правильном тетраэдре точки и – середины рёбер и соответственно. Плоскость перпендикулярна прямой и пересекает ребро в точке . a) Докажите, что прямая перпендикулярна рёбрам и . б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью , если известно, что , .

В правильной треугольной пирамиде с основанием точки и −середины рёбер и соответственно. На продолжении ребра за точку отмечена точка . Прямые и пересекают рёбра и в точках и соответственно, причём . a) Докажите, что отрезки и пересекаются. б) Найдите отношение .

В правильной треугольной пирамиде с основанием точки и - середины рёбер и соответственно, а точки и отмечены на рёбрах и соответственно так, что отрезки и пересекаются, а . а) Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке. б) Найдите отношение .

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды с основанием равны 4. Точка – центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой и проходящая через точку , пересекает рёбра и в точках и соответственно. Точка делит ребро в отношении . a) Докажите, что точка – середина ребра . б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость пересекает грань .

В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием точка – центр основания пирамиды, точка – середина ребра , точка делит ребро в отношении , а и . a) Докажите, что плоскость параллельна прямой . б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 𝑂𝑀𝐾 пересекает грань .

Точка - середина бокового ребра правильной четырёхугольной пирамиды , точка лежит на стороне основания . Плоскость проходит через точки и параллельно боковому ребру . а) Плоскость пересекает ребро в точке .

Докажите, что . б) Пусть .

Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду.

Точка – середина ребра правильной четырёхугольной пирамиды с основанием . Точка лежит на ребре ,. a) Докажите, что плоскость параллельна прямой . б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью , если все рёбра пирамиды равны .

В основании пирамиды лежит трапеция с основаниями и , равными и соответственно. Точки и лежат на рёбрах и соответственно, причём . Плоскость пересекает ребро в точке . а) Докажите, что . б) Плоскость делит пирамиду на два многогранника.

Найдите отношение их объёмов

Основанием четырёхугольной пирамиды является трапеция , причём . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, – точка пересечения прямых и .

а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды равна .

В пирамиде рёбра , и попарно перпендикулярны, а .

а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём .

Найдите площадь сечения .

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна , а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .

а) Докажите, что плоскость параллельна . б) Найдите угол между плоскостями и .

На рёбрах и треугольной пирамиды отмечены точки и соответственно, причём . Точки и — середины ребер и соответственно.

а) Докажите, что , , и лежат в одной плоскости. б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду.

На рёбрах , , и тетраэдра отмечены точки , , и соответственно, причём . Четырёхугольник — квадрат со стороной 2.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны. б) Найдите расстояние от вершины до плоскости , если объём тетраэдра равен .

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна , а боковое ребро . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .

а) Докажите, что плоскость параллельна . б) Найдите угол между плоскостями и .

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна , а боковое ребро равно . На ребрах и отмечены точки и соответственно, причем $AM = 2, SK = 1\alphaABC

и содержит точки

и .

а) Докажите, что плоскость содержит точку . б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник причём , . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин и опущены перпендикуляры и на ребро . а) Докажите, что – середина отрезка . б) Найдите угол между гранями и , если .

В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна , а боковое ребро равно . Точка – середина ребра . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки и . Прямая пересекает плоскость в точке . а) Докажите, что . б) Найдите объем пирамиды .

На ребре SD правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : MD - 2 : 1. Точки Р и Q - середины рёбер ВС и AD соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

В основании пирамиды лежит трапеция с большим основанием . Диагонали трапеции пересекаются в точке . Точки и - середины боковых сторон и соответственно. Плоскость проходит через точки и параллельно прямой . а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является трапецией. 6) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью , если , , , а прямая перпендикулярна прямой .

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а АВ = ВС = АС =

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём DM : МА = = DN : NC = 1 : 2.

Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна , а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , .

a) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды .